2.4 확률의 활용

HOOK

확률 3공식의 강력한 응용

Combine the three formulas — solve real and surprising problems.

2.3에서 우리는 확률의 세 공식 — 여사건·합사건·곱사건 — 을 익혔습니다. 이번 차시에서는 이 도구들을 실제 문제 풀이에 자유롭게 활용합니다.

특히 두 가지 강력한 기법에 집중합니다 — "적어도 한 번" 문제와 연속 시행의 확률. 그리고 일기예보·게임·의료 같은 실생활에서 확률이 어떻게 쓰이는지 살펴봅니다.

핵심 통찰: "적어도" 문제는 여사건이 답이고, 연속 시행은 곱셈이 답입니다. 두 가지 도구만 알면 복잡해 보이는 문제도 한 줄 식으로 풀 수 있습니다.

두 가지 기법 — 여사건과 곱셈

TECHNIQUE 1

"적어도 한 번" 문제 — 여사건이 답

Direct counting fails. Complement wins.

KEY IDEA · 핵심 아이디어

"적어도 한 번 $A$가 일어날 확률" = $1 -$ ("한 번도 $A$가 일어나지 않을 확률")

"적어도 한 번"이라는 표현이 등장하면 — 여사건이 훨씬 쉽습니다. 사건을 직접 세려면 "한 번 + 두 번 + 세 번 + ..." 모든 경우를 나열해야 하지만, 여사건은 단 하나 — "한 번도 안 일어남". $1$에서 빼면 끝!

$P(\text{적어도 한 번}) = 1 - P(\text{한 번도 일어나지 않음})$
The complement trick.

EXAMPLE A · 동전 2개

동전 2개 동시에 — 적어도 한 개 앞면일 확률

직접 세기: 적어도 한 개 앞면
= {HH, HT, TH} → 3가지
$P = \dfrac{3}{4}$

여사건 방식: 적어도 한 개 앞면의 여사건 = "모두 뒷면"
$P(\text{모두 뒷면}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

$P(\text{적어도 한 개 앞면})$
$= 1 - P(\text{모두 뒷면})$
$= 1 - \dfrac{1}{4}$
$= $ $\dfrac{3}{4}$

EXAMPLE B · 주사위 2개

주사위 2개 동시에 — 적어도 한 개에 6이 나올 확률

왜 여사건이 쉬운가: 직접 세면 (6,1)(6,2)...(6,6)(1,6)(2,6)... 중복까지 따져야 함.

여사건: "한 개도 6이 안 나옴" = 둘 다 $\{1,2,3,4,5\}$
$P = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$

$P(\text{적어도 한 개 6})$
$= 1 - \dfrac{25}{36}$
$= $ $\dfrac{11}{36}$

TECHNIQUE 2

연속 시행 — 독립의 곱

A trial repeated n times — multiply the probabilities.

KEY IDEA · 핵심 아이디어

같은 시행을 $n$번 반복했을 때, 각 시행이 독립이면 곱셈으로 계산

한 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$일 때, 그 시행을 $n$번 독립적으로 반복하여 모두 $A$가 일어날 확률은:

$P(\text{n번 모두 } A) = p \times p \times \cdots \times p = p^n$
The product rule for independent trials.

주의: 시행이 독립이어야 한다 — 즉, 한 시행의 결과가 다음 시행에 영향을 주면 안 됨. 예: 동전 던지기, 주사위 던지기, 뽑은 후 다시 넣기.

EXAMPLE C · 동전 3번

동전을 3번 던져 모두 앞면일 확률

각 시행: 동전 1번 던지기 → $P(\text{앞면}) = \dfrac{1}{2}$

독립: 첫 번째 결과가 두 번째에 영향 없음. 두 번째도 세 번째에 영향 없음.

곱셈: 3번 모두 앞면이 나오려면 각각 앞면.

$P(\text{3번 모두 앞면})$
$= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}$
$= \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$
$= $ $\dfrac{1}{8}$

EXAMPLE D · 명중률

명중률 $0.8$인 사람이 3번 쏘아 모두 명중할 확률

각 시행: 한 번 쏘기 → $P(\text{명중}) = 0.8$

독립 가정: 각 사격이 서로 무관 (실력 안 변함).

곱셈: 3번 모두 명중하려면 각각 명중.

$P(\text{3번 모두 명중})$
$= 0.8 \times 0.8 \times 0.8$
$= 0.8^3$
$= $ $0.512$

REAL WORLD

확률은 어디에 쓰이는가?

From the morning weather forecast to the AI in your phone.

DAILY · 일기 예보

"비올 확률 $70\%$"

기상청이 비슷한 기상 조건에서 과거 $100$일 중 $70$일에 비가 왔다는 통계적 확률. 우산 챙길지의 결정은 확률의 응용.

HEALTH · 의료

"양성 검사 정확도"

의료 검사의 민감도·특이도(true positive rate / true negative rate)는 모두 확률. 베이즈 정리로 진단 정확도를 계산.

GAMES · 게임 가챠

"5성 캐릭터 확률 $0.6\%$"

게임 회사가 공개하는 가챠 확률. "적어도 한 번 5성을 뽑을" 확률 — 여사건으로 계산 → $1 - (1-0.006)^n$.

FINANCE · 보험

"$1$년 내 사고 확률"

보험사는 사고 통계로 보험료를 책정. 확률이 곧 비즈니스. 자동차 사고율 등의 평균 확률 데이터 기반.

INTERACTIVE

"적어도 한 번" 계산기

Adjust the probability and number of trials — watch the result.

AT-LEAST-ONCE CALCULATOR

$1 - (1 - p)^n$ — 한 번 일어날 확률 $p$로 $n$번 시도

한 번의 성공 확률 $p$

$p$ = 0.50

시행 횟수 $n$

$n$ = 3

프리셋 (자주 쓰이는 상황)

적어도 한 번 일어날 확률

$1 - (1 - $ 0.50$)^{$3$}$

0.875

즉 87.5%

💡 관찰: 한 번의 확률이 낮아도 — 시행 횟수가 늘어나면 "적어도 한 번"의 확률은 빠르게 증가. 예: $p = 0.1$도 $n = 20$이면 $\approx 87.8\%$.

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on applications.

Q · 01

동전 2개를 동시에 던질 때 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은? (여사건 활용)

풀이: 여사건 = 둘 다 뒷면 = $\dfrac{1}{4}$. 답 = $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

Q · 02

동전을 $3$번 던져 $3$번 모두 앞면이 나올 확률은?

풀이: 독립 → $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.

Q · 03

"적어도 한 번" 문제를 풀 때 가장 효율적인 방법은?

풀이: "적어도" → 여사건이 한 번도 안 일어남 단 하나로 간단해짐.

Q · 04

주사위 $2$개를 동시에 던질 때 적어도 한 개에 $6$이 나올 확률은?

풀이: 여사건 = 둘 다 6 아님 = $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$. 답 = $1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$.

Q · 05

명중률 $\dfrac{3}{5}$인 사람이 $2$번 쏘아 $2$번 모두 명중할 확률은?

풀이: 독립 → $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

"At least once" + sequential trials.

EXAMPLE · 01 · "적어도 한 번"

동전 $3$개를 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률을 구하라.

핵심: 여사건 활용 — 적어도 한 개 앞면 ↔ 모두 뒷면.

STEP 1 · 여사건 계산

여사건 = "모두 뒷면". 동전 $3$개가 모두 뒷면이려면 $P = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$.

STEP 2 · 본 사건 확률

$P(\text{적어도 한 개 앞면}) = 1 - P(\text{모두 뒷면}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.

답: $\dfrac{7}{8}$

EXAMPLE · 02 · 연속 시행

명중률이 $0.8$인 사람이 한 표적을 향해 $3$번 쏘았다. $3$번 모두 명중할 확률을 구하라.

핵심: 각 사격이 독립 → 곱셈.

STEP 1 · 한 번의 확률

한 번 쏠 때 명중할 확률 $= 0.8$.

STEP 2 · 곱셈 적용

$3$번 모두 명중하려면 각각 명중해야 하고 시행이 독립이므로 곱셈:

$P = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.8^3 = 0.512$

답: $0.512$ (약 $51.2\%$)

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

동전 $2$개를 동시에 던질 때 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은? (분수)

힌트: 여사건 = 모두 뒷면 = $\dfrac{1}{4}$. 답 = $1 - \dfrac{1}{4}$.

P · 02★

주사위 한 개를 두 번 던져 두 번 모두 $6$이 나올 확률은? (분수)

힌트: 독립 → $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}$.

P · 03★

"적어도 ~" 문제를 풀 때 가장 효율적인 방법은? (답: ___ 활용)

힌트: 직접 세는 대신 "한 번도 안 일어남"의 확률을 구해 $1$에서 빼기.

P · 04★★

동전 $3$개를 동시에 던질 때 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은? (분수)

힌트: 여사건 = 모두 뒷면 = $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$. 답 = $1 - \dfrac{1}{8}$.

P · 05★★

명중률이 $\dfrac{3}{5}$인 사람이 $2$번 쏘아 $2$번 다 명중할 확률은? (분수)

힌트: 독립 → $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5}$.

P · 06★★

주사위 $2$개를 동시에 던질 때 적어도 한 개에 $6$이 나올 확률은? (분수)

힌트: 여사건 = 둘 다 6 아님 = $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$. 답 = $1 - \dfrac{25}{36}$.

P · 07★★★

일기예보에서 오늘 비올 확률 $0.6$, 내일 비올 확률 $0.4$이며 서로 독립이다. 이틀 다 비올 확률은? (소수)

힌트: 독립 → $0.6 \times 0.4$.

P · 08★★★

흰 공 $3$개, 검은 공 $2$개가 들어 있는 상자에서 공 한 개를 꺼낸 뒤 다시 넣고 또 한 개를 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공일 확률은? (분수)

힌트: 복원이므로 매번 $P(\text{흰}) = \dfrac{3}{5}$. 독립 → $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5}$.

LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

확률 활용의 두 가지 강력한 기법 — "적어도 한 번"은 여사건으로, 연속 시행은 곱셈으로. 그리고 일기예보·게임·보험·의료 — 우리 일상의 모든 곳에 확률이 숨어 있다. 17세기 도박꾼의 문제로 시작된 학문이 21세기 데이터 과학의 토대가 되었다.

"적어도" → 여사건 연속 시행 → 곱 독립 가정 필수 $1 - (1-p)^n$